一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数(shù)g(y)在(zài)每一处g(y)都等于(yú)x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫(jiào)做函(hán)数y=f(x)(x∈A)的反函数，记(jì)作y=f-1(x) 。

　　反函数y=f-1(x)的定义域(yù)、值(zhí)域(yù)分别是函数(shù)y=f(x)的值域、定义域。

　　最具有代表性的反函(hán)数就是对数函数与指数函数。

　　函数f(x)与(yǔ)它(tā)的反(fǎn)函数f-1(x)图(tú)象关于直线y=x对称；

　　函(hán)数及(jí)其反函数的图形关于直线y=x对称；

　　函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是(shì)一一映射(shè)等。

　　反函数性质(zhì)：函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关(guān)于(yú)直线y=x对称；

　　函数及其反函数的图形关于直(zhí)线y=x对称；

　　函数存(cún)在(zài)反函数的充要条件是，函数(shù)的定义域与值域是一一映射(shè)的(de)。

　　1、反函数的(de)定义域是原函(hán)数的值域(yù)，反函(hán)数的值(zhí)域是原函(hán)数的定义域(yù)。

　　2、互(hù)为反函数(shù)的两个函(hán)数的图(tú)像关于直线(xiàn)y=x对称。

　　3、原函数若是(shì)奇函数，则其反函(hán)数为奇函(hán)数。

　　4、若函(hán)数是单调函(hán)数，则一定有(yǒu)反函数，且反函数的单调(diào)性与原函数的(de)一致。

　　5、原函数与反(fǎn)函数的图像(xiàng)若有交点，则交点(diǎn)一定在(zài)直(zhí)线y=x上或关于直线y=x对称出现。

反函数(shù)有哪些(xiē)性质

　　性(xìng)质：

　　（1）函数f(x)与它的反(fǎn)函数(shù)f-1(x)图(tú)象关于(yú)直线y=x对称；

　　（2）函数存在(zài)反函数的充要条(tiáo)件是，函数的(de)定义域与值域是一一映射；

　　（3）一个函数(shù)与(yǔ)它(tā)的反函(hán)数(shù)在相应区(qū)间上单调性一致；

　　（4）大部分偶函数不存在反函(hán)数（当(dāng)函数(shù)y=f(x)， 定义域是(shì){0} 且 f(x)=C （其(qí)中C是常数），则函数f(x)是偶函数(shù)且有反函数，其反函(hán)数的(de)定义域是{C}，值域为{0} ）。

　　奇(qí)函数(shù)不一(yī)定存在(zài)反(fǎn)函数，被与(yǔ)y轴垂(chuí)直的直线截时能过2个及(jí)以(yǐ)上(shàng)点即没有反函数。

　　腔(qiāng)神(shén)若一个(gè)奇(qí)函数存(cún)在反(fǎn)函数(shù)，则它的反函(hán)数(shù)也是奇森圆穗函数。

　　（5）一段连续的函数的单调性在对应(yīng)区间内具有一致性；

　　（6）严增（减）的函数一定有(yǒu)严(yán)格增（减(jiǎn)）的反(fǎn)函数；

　　（7）反函数(shù)是相互的且具(jù)有唯一性；

　　（8）定义域、值域(yù)相(xiāng)反对应法则互(hù)逆（三反(fǎn)）；

　　（9）反函数(shù)的导数(shù)关系：如(rú)果x=f(y)在开区间I上严格单(dān)调，可(kě)导，且f(y)≠0，那么它的反函数y=f-1(x)在(zài)区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导，且：

　　（10）y=x的反函数是它(tā)本身。

　　扩(kuò)此卜展(zhǎn)资料(liào)：

　　反函数定(dìng)义：

　　设(shè)函数y=f(x)的定义域(yù)是D，值域是f(D)。

　　如果对于值域(yù)f(D)中的每一个(gè)y，在D中有且只有一个(gè)x使得f(x)=y，则按此(cǐ)对应法则得(dé)到了一个定义在f(D)上(shàng)的函数。

　　并(bìng)把该函数称为函数y=f(x)的反函数(shù)，记为(wèi)由(yóu)该定(dìng)义可以很(hěn)快(kuài)得出函数f的(de)定义域D和值(zhí)域f(D)恰好就是反函(hán)数f-1的值域(yù)和定义域，并且f-1的反函数就是f，也(yě)就是说，函数f和f-1互为反(fǎn)函数，即：

　　反(fǎn)函数与(yǔ)原函数的复合函数等于x，即：

　　习惯上我(wǒ)们用x来表示(shì)自变量，用y来(lái)表示因变量，于是函数(shù)y=f(x)的反函数通常写成

　　 。

　　例如，函(hán)数  

　　的反函数(shù)是  。

　　相(xiāng)对于反函数y=f-1(x)来(lái)说，原来(lái)的函数y=f(x)称为直接函(hán)数。

　　反函数和直接(jiē)函数的(de)图像(xiàng)关于(yú)直线y=x对称(chēng)。

　　这是(shì)因为，如(rú)果设(a,b)是y=f(x)的(de)图像上任意一(yī)点，即b=f(a)。

　　根据反函(hán)数的(de)定义(yì)，有(yǒu)a=f-1(b)，即点(b,a)在反(fǎn)函(hán)数(shù)y=f-1(x)的图像上(shàng)。

　　而(ér)点(a,b)和(b,a)关于(yú)直(zhí)线y=x对称，由(yóu)(a,b)的任(rèn)意性可知f和f-1关于y=x对(duì)称。

　　于是我们可以知道，如果(guǒ)两个(gè)函数(shù)的图(tú)像关(guān)于y=x对称，那么这两个函数互为(wèi)反函数。

　　这也可以(yǐ)看做是反(fǎn)函数(shù)的一个几何定义。

　　在(zài)微(wēi)积分里，f (n)(x)是用来指f的n次微分(fēn)的(de)。

　　若一函(hán)数有(yǒu)反函数，此函数(shù)便(biàn)称(chēng)为可逆的（invertible）。

　　参(cān)考资料：百(bǎi)度百科(kē)---反函数(shù)

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